Jawab:
Faktor-faktor linear dari 2x³ – x² – 18x + 9 = 0 adalah
x – 3, 2x – 1, dan x + 3
Penjelasan dengan langkah-langkah:
Faktor Linear Suku Banyak
Diberikan persamaan:
2x³ – x² – 18x + 9 = 0
Untuk mencari faktor linearnya, pertama-tama kita dapat menggunakan teorema akar rasional.
Koefisien suku dengan pangkat tertinggi, yaitu x³, adalah 2.
Faktor-faktor dari 2 adalah ±1 dan ±2.
Konstanta pada persamaan itu adalah 9.
Faktor-faktor dari 9 adalah ±1, ±3, dan ±9.
Cari salah satu nilai (faktor dari 9)/(faktor dari 2) yang memenuhi persamaan.
Pilih faktor +1 dari konstanta dan faktor +1 dari koefisien, lalu substitusi menjadi nilai x dalam persamaan.
⇒ x = 1/1 = 1
2(1³) – 1² – 18(1) + 9 = 2 – 1 – 18 + 9 ≠ 0
Maka, 1/1 atau 1 bukan merupakan salah satu akar.
Kemudian, pilih faktor +3 dari konstanta dan faktor +1 dari koefisien, lalu substitusi menjadi nilai x dalam persamaan.
⇒ x = 3/1 = 3
2(3³) – 3² – 18(3) + 9
= 2(27) – 9 – 54 + 9
= 54 – 54
= 0
Maka, x = 3 adalah salah satu akarnya.
Faktorkan persamaan dengan (x – 3).
2x³ – x² – 18x + 9 = 0
2x²(x – 3) = 2x³ – 6x², sedangkan koefisien x² pada persamaan adalah –1. Oleh karena itu, perlu ditambah 5x² agar pemfaktoran menjadi ekuivalen dengan persamaan awal.
⇔ 2x²(x – 3) + 5x² – 18x + 9 = 0
5x(x – 3) = 5x² – 15x, sedangkan koefisien x pada persamaan adalah –18x. Oleh karena itu, perlu dikurangi 3x (atau ditambah –3x) agar pemfaktoran menjadi ekuivalen dengan persamaan awal.
⇔ 2x²(x – 3) + 5x(x – 3) – 3x + 9 = 0
–3(x – 3) = –3x + 9, ini sudah sesuai dengan 2 suku terakhir. Sehingga:
⇔ 2x²(x – 3) + 5x(x – 3) – 3(x – 3) = 0
Sederhanakan persamaan dengan sifat distributif.
⇔ (x – 3)(2x² + 5x – 3) = 0
Berikutnya, faktorkan 2x² + 5x – 3.
2x² + 5x – 3 = (2x – 1)(x + 3)
Maka, hasil pemfaktorannya adalah:
(x – 3)(2x – 1)(x + 3) = 0
Faktor-faktor linear:
- x – 3
- 2x – 1
- x + 3
∴ Dengan demikian, faktor-faktor linear dari 2x³ – x² – 18x + 9 = 0 adalah
x – 3, 2x – 1, dan x + 3
_____________________
Cara Lain
Setelah mendapatkan faktor (x – 3) di atas, kita bisa menggunakan metode Horner (metode sintetik).
x – 3 = 0
⇒ x = 3
2x³ – x² – 18x + 9 = 0
⇒ koefisien-koefisien: 2, –1, –18, 9
Metode Horner (metode sintetik)
[tex]\large\text{$\begin{array}{r|rrr|r|rrr}&2&-1&-18&9\\x=3&&6&15&-9\\&\bf2&\bf5&\bf-3&\bf0\\&\multicolumn{ 3 } { | c | } {\sf hasil\ bagi}&\multicolumn{1}{|c|}{\sf sisa}\end{array}$}[/tex]
- Hasil bagi: 2x² + 5x – 3
- Sisa: 0
Maka, 2x³ – x² – 18x + 9 = 0 difaktorkan menjadi:
(x – 3)(2x² + 5x – 3) = 0
Berikutnya, faktorkan 2x² + 5x – 3.
2x² + 5x – 3 = (2x – 1)(x + 3)
Maka, hasil pemfaktorannya adalah:
(x – 3)(2x – 1)(x + 3) = 0
Faktor-faktor linear:
- x – 3
- 2x – 1
- x + 3
∴ Dengan demikian, faktor-faktor linear dari 2x³ – x² – 18x + 9 = 0 adalah
